\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[slovak]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{watermark}
\usepackage{framed}
\usepackage{shuffle}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}

\geometry{
  a4paper,
  top=25mm,
  bottom=18mm,
  right=21mm,
  left=22mm
}

\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}

\newenvironment{modenumerate}
  {\enumerate\setupmodenumerate}
  {\endenumerate}

\newif\ifmoditem
\newcommand{\setupmodenumerate}{%
  \global\moditemfalse
  \let\origmakelabel\makelabel
  \def\moditem##1{\global\moditemtrue\def\mesymbol{##1}\item}%
  \def\makelabel##1{%
    \origmakelabel{##1\ifmoditem\rlap{\mesymbol}\fi\enspace}%
    \global\moditemfalse}%
}

\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textbf{Prvá sada bodovaných domácich úloh}}
\end{center}
\thispageheading{\vspace{-42pt}\begin{flushright}\begin{tabular}{l} Formálne jazyky a automaty (2) \\ Letný semester 2024/25 \end{tabular}\end{flushright}}

Úlohy tejto sady je potrebné odovzdať \textbf{do pondelka 24. marca 2025, 14:00} do krabice,
ktorá bude umiestnená na chodbe pred sekretariátom KI (miestnosť M-254).

\begin{enumerate}
\item{Nech $m,n \in \mathbb{N} - \{0\}$. Nájdite tesný horný odhad na počet stavov \emph{minimálneho} deterministického konečného automatu akceptujúceho jazyk typu $L_m \cup L_n$, kde
$L_m$ je jazyk akceptovaný deterministickým konečným automatom s $m$ stavmi a $L_n$ je jazyk akceptovaný deterministickým konečným automatom s $n$ stavmi.\footnote{Je teda potrebné nájsť funkciu $f\colon\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ s nasledujúcimi dvoma vlastnosťami: \begin{enumerate}[label=$(\roman*)$]\item{Ak $A$ je deterministický konečný automat s $m$ stavmi a $B$ je deterministický konečný automat s $n$ stavmi, má minimálny deterministický konečný automat pre jazyk $L(A) \cup L(B)$ vždy \emph{nanajvýš} $f(m,n)$ stavov.}\item{Pre všetky $m,n \in \mathbb{N} - \{0\}$ existujú deterministické konečné automaty $A,B$ s $m$ resp. $n$ stavmi také, že minimálny deterministický konečný automat pre jazyk $L(A) \cup L(B)$ má \emph{presne} $f(m,n)$ stavov.}\end{enumerate}} Svoje tvrdenie dokážte. 
}
\item{Nech $\Sigma,\Gamma$ sú abecedy, $L \subseteq \Sigma^*$ je (rozšírený) kontextový jazyk a $\tau\colon \Sigma^* \to 2^{\Gamma^*}$ je substitúcia taká, že pre všetky $c \in \Sigma$ je $\tau(c)$ kontextový jazyk neobsahujúci prázdne slovo $\eps$.
Musí byť v~takom prípade $\tau(L) \in \mathscr{L}_{ECS}$?
}
\end{enumerate}
\end{document}

