KOMPLEXNÁ ANALÝZA PRE INFORMATIKOV

Zimný semester 2019/2020

Rozvrh:

Pondelok, 14:50 – 17:05, miestnosť M-VII (prednáška)

Streda, 14:50 – 16:20, zraz pred miestnosťou M-213 (cvičenia)

Posledné cvičenia budú výnimočne v utorok 17. decembra 2019 o 15:40 v miestnosti M-IX.

Kontakt:

Peter Kostolányi

e-mail: kostolanyi zavináč fmph a tak ďalej

miestnosť: M-227

Prednášky a cvičenia:

Cvičenia č. 1: Komplexné čísla a komplexná rovina (23. septembra 2019)

• Komplexné čísla, ich reprezentácie a aritmetika. Základy topológie komplexnej roviny, rozšírená komplexná rovina a Riemannova sféra, súvislé množiny a oblasti.
• Poznámky k cvičeniu.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitoly 1 a 2 a oddiely 3.1 až 3.14).

Prednáška č. 1: Holomorfné funkcie (24. septembra 2019)

• Funkcie komplexnej premennej. Limita postupnosti komplexných čísel, limita a spojitosť funkcie komplexnej premennej. Derivácia a diferencovateľnosť, Cauchyho-Riemannove podmienky. Holomorfné funkcie, základné vlastnosti holomorfných a diferencovateľných funkcií.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 3.15 až 3.25 a kapitola 5).

Prednáška č. 2: Analytické funkcie (30. septembra 2019)

• Nekonečné rady komplexných čísel a kritériá ich konvergencie. Mocninové rady a veta o polomere konvergencie. Analytické funkcie a veta o derivovaní mocninových radov. Exponenciálna funkcia a goniometrické funkcie.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 6 a oddiely 7.1 až 7.12).

Cvičenia č. 2 (2. októbra 2019)

• Vizualizácia funkcií komplexnej premennej. Úlohy na Cauchyho-Riemannove podmienky a základné vlastnosti exponenciálnej funkcie a goniometrických funkcií.
• Úlohy na precvičenie.

Prednáška č. 3: Integrovanie funkcií komplexnej premennej (7. októbra 2019)

• Parametrické krivky v komplexnej rovine. Krivkový integrál a jeho základné vlastnosti. Veta o odhade. „Základná veta o krivkových integráloch”.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 10).
• Ďalšie odporúčané čítanie: Brown, J. W.; Churchill, R. V.: Complex Variables and Applications 8th ed. Boston: McGraw-Hill, 2009 (približne prvá polovica kapitoly 4: oddiely 37 až 45).

Cvičenia č. 3: Základné multifunkcie a príklady na integrovanie (9. októbra 2019)

• „Naivný” pohľad na základné multifunkcie: argument, prirodzený logaritmus, mocninové funkcie. Príklady na krivkový integrál.
• Poznámky k cvičeniu.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 7.13 až 7.17, 9.1 a 9.2).

Prednáška č. 4: Cauchyho integrálna veta (14. októbra 2019)

• Cauchyho integrálna veta pre trojuholník a pre konvexnú oblasť. Pojem homotópie prostredníctvom elementárnych deformácií. Veta o deformácii. Cauchyho integrálna veta pre jednoducho súvislú oblasť.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitoly 11 a 12).

Cvičenia č. 4: Homotópie a Jordanova veta (16. októbra 2019)

• Zvyčajná definícia homotópií a jej ekvivalencia s definíciou z prednášky. Bez dôkazu Jordanova a Jordanova-Schoenfliesova veta, niektoré ich dôsledky.
• Poznámky k cvičeniu.
• Relatívne elementárny dôkaz Jordanovej vety: Tverberg, H.: A Proof of the Jordan Curve Theorem. In Bull. London Math. Soc. 12 (1980), pp. 34–38.

Prednáška č. 5: Cauchyho integrálne vzorce (21. októbra 2019)

• Cauchyho integrálny vzorec. Liouvillova veta a základná veta algebry. Cauchyho vzorce pre derivácie vyšších rádov. Rovnomerná konvergencia. Taylorove rady a ekvivalencia holomorfnosti s analytickosťou.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitoly 13 a 14).

Cvičenia č. 5 (23. októbra 2019)

• Úlohy na precvičenie (zamerané na Cauchyho integrálne vzorce a Taylorove rady).

Prednáška č. 6: Veta o jednoznačnosti a Laurentove rady (28. októbra 2019)

• Korene holomorfných funkcií. Veta o jednoznačnosti. Laurentove rady. Izolované singularity a ich klasifikácia.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 15.1 až 15.11 a 17.1 až 17.17).

Cvičenia č. 6 (30. októbra 2019)

• Úlohy na precvičenie (zamerané na Laurentove rady).

Prednáška č. 7: Index bodu vzhľadom ku krivke (4. novembra 2019)

• Index bodu vzhľadom ku krivke a jeho súvis so spojitým výberom argumentu. Morerova veta. Všeobecné verzie Cauchyho integrálneho vzorca a Cauchyho integrálnej vety.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Rudin, W.: Real and Complex Analysis 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1986 (väčšina kapitoly 10).
• Ďalšie odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 11.12 až 11.13 a 12.8 až 12.13).

Cvičenia č. 7 (6. novembra 2019)

• Úlohy na precvičenie (zamerané na index a vlastnosti funkcií v nekonečne).

Prednáška č. 8: Rezíduá (11. novembra 2019)

• Cauchyho veta o rezíduách a jej aplikácie na výpočet krivkových integrálov. Cauchyho princíp argumentu.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (kapitola 18 a oddiel 15.13).

Cvičenia č. 8 (13. novembra 2019)

• Úlohy na precvičenie (zamerané na rezíduá).

Prednáška č. 9: Analytické predĺženie (18. novembra 2019)

• Analytické prvky, priame analytické predĺženie, analytické predĺženie, globálne analytické funkcie a ich vetvy. Analytické predĺženie pozdĺž kriviek. Neobmedzene predĺžiteľné analytické prvky. Analytické predĺženie pozdĺž homotopických kriviek a veta o monodrómii.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. 3. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1967 (oddiely 39 a 40).
• Texty k predmetu Komplexní analýza 2 na MFF UK v Prahe (O. Kalenda).

Cvičenia č. 9 (20. novembra 2019)

• Úlohy na precvičenie (zamerané na analytické predĺženie a ďalšie témy).

Prednáška č. 10: Singularity (25. novembra 2019)

• Singularity a ich klasifikácia. Puiseuxove rady.
• Poznámky k prednáške.
• Odporúčané čítanie: Markushevich, A. I.: Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. 3. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1967 (oddiel 42).

Cvičenia č. 10 (27. novembra 2019)

• Úlohy na precvičenie (zamerané na singularity a Puiseuxove rady).

Prednáška č. 11: Algebraické funkcie (2. decembra 2019)

• Rezultant dvojice polynómov a niektoré jeho vlastnosti. Definícia algebraických funkcií. Existencia a jednoznačnosť algebraickej funkcie definovanej daným polynómom. Singularity algebraických funkcií a Puiseuxove rozvoje v nich.
• Odporúčané čítanie: Ahlfors, L. V.: Complex Analysis, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1979 (oddiel 8.2).
• Odporúčané čítanie k rezultantom: Van der Waerden, B. L.: Algebra, Vol. I. New York: Springer, 1991 (oddiel 5.8).

Cvičenia č. 11: Princíp maxima modulu (4. decembra 2019)

• Princíp maxima modulu a niektoré jeho dôsledky.
• Odporúčané čítanie: Priestley, H. A.: Introduction to Complex Analysis 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2003 (oddiely 16.1 a 16.2).
• Domáce úlohy (s odovzdaním pri skúške).

Prednáška č. 12: Funkcia gama (9. decembra 2019)

• Definícia prostredníctvom integrálu, rekurentný vzťah a rozšírenie oboru definície. Meromorfnosť na komplexnej rovine. Funkčné hodnoty v niekoľkých vybraných z.
• Odporúčané čítanie: Henrici, P.: Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2. New York: John Wiley & Sons, 1977 (oddiel 8.4).
• Klasické dielo o reálnej funkcii gama: Artin, E.: The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1964.

Cvičenia č. 12: Limitná reprezentácia funkcie gama (11. decembra 2019)

• Čiastočné funkcie gama a ich integrálna reprezentácia. Vyjadrenie funkcie gama pomocou limity čiastočných funkcií gama.
• Odporúčané čítanie: Henrici, P.: Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 2. New York: John Wiley & Sons, 1977 (oddiel 8.4).

Prednáška č. 13: Ďalšie vlastnosti funkcie gama (16. decembra 2019)

• Vyjadrenie funkcie gama pomocou Eulerovho nekonečného súčinu. Eulerova-Mascheroniho konštanta a reprezentácia funkcie gama pomocou Weierstrassovho nekonečného súčinu. Bohrova-Mollerupova veta. Stirlingova aproximácia pre reálnu funkciu gama a pre faktoriál. Gaussov súčinový vzorec a Legendreov vzťah.
• Odporúčané čítanie: Artin, E.: The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1964.

Cvičenia č. 13: Ďalšie vlastnosti funkcie gama (17. decembra 2019)

• Súvis funkcie gama so sínusom.
• Odporúčané čítanie: Artin, E.: The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1964.